Простейшая модель оценки производных финансовых инструментов «европейского типа»

Финансовый инструмент называется инструментом «европейского типа» (European-style), производным от некоторых базисных активов, если существует функция F(z), такая что в определенный будущий момент времени Т стоимость финансового инструмента равна F(Sт), где Sт – стоимость базисных активов в момент времени Т.

В этом случае функция F(z) называется платежной функцией производного финансового инструмента. Например, для европейских опционов колл и пут платежные функции имеют вид:

Предположим, что базисные активы обладают постоянной дивидендной доходностью q,
а их стоимость определяется следующей одноэтапной биномиальной моделью:

Иными словами, в начальный момент времени стоимость базисных активов известна и равна S, а к моменту Т она может подняться до Su с вероятностью π или упасть до Sd с вероятностью 1 – π.

Нетрудно заметить, что при отсутствии прибыльных арбитражных возможностей на спот-рынке базисных активов должно выполняться неравенство

(1)

Рассмотрим финансовый инструмент «европейского типа», производный от рассматриваемых базисных активов, платежная функция которого F(z).

В начальный момент времени t сформируем инвестиционный портфель, состоящий из покупки базисных активов и короткой продажи х производных финансовых инструментов на эти активы. Начальные затраты на данный портфель составят

где П – начальная стоимость одного производного инструмента.

 (2)

то, что бы ни случилось на рынке, доход инвестора будет один и тот же, т. е. стратегия окажется безрисковой. Так как по условию прибыльные арбитражные возможности отсутствуют, то доходность инвестиционного портфеля должна совпадать с безрисковой процентной ставкой, т. е.

 (3)

при х, определяемом соотношением (2).

Выразив х из равенства (2) и подставив его в соотношение (3), получим:

(4)

Из неравенства (1) следует, что 0 < π*< 1. Кроме того, выполняется равенство

Это означает, что ожидаемая доходность инвестиции в базисные рискованные активы совпадает с безрисковой процентной ставкой, если в исходной одноэтапной биномиальной модели вероятность подъема цены активов равна π*.

Следовательно, π можно интерпретировать как вероятность подъема цены базисных активов в мире, нейтральном к риску (Иными словами, когда инвесторы не требуют премии за риск при вложении в рискованные активы, ожидаемая доходность которых не отличается от гарантированной (безрисковой) нормы доходности.) (risk-neutral world). В этом случае равенство (4) можно переписать в следующем виде: